Površina trougla i četvorougla – kontrolni zadaci za 6. razred

Površina govori koliko mesta figura zauzima, a obim koliko je duga njena granica. Kada dete razume tu razliku i pravilno pronađe visinu, formule postaju povezane ideje umesto nepovezanih izraza. Ovaj paket obrađuje površine trouglova i četvorouglova, jednake površine, razlaganje figura i pretvaranje jedinica.

Pripremili smo razumljiva objašnjenja, originalne primere, jedan PDF za vežbanje sa grupama A/B i rešenjima i onlajn test od 15 pitanja. Materijal koristite za obnavljanje, samostalan rad ili pripremu za kontrolnu vežbu, prema onome što je obrađeno u školi.

Uradite brzi onlajn test – 15 pitanja

Obim nije površina

Obim izražavamo jedinicama dužine, na primer centimetrima. Površinu izražavamo kvadratnim jedinicama, kao cm² ili m². Pravougaonik stranica 4 cm i 6 cm ima obim 20 cm i površinu 24 cm². Brojevi ne opisuju istu osobinu. Pre računa zapiši šta se traži. Kod zadataka sa ogradom često tražimo obim, a kod pločica ili farbanja površinu. Obrati pažnju na delove koji se dodaju ili izuzimaju.

Pravougaonik, kvadrat i kvadratne jedinice

Za pravougaonik važi P = a · b, a za kvadrat P = a². Jedan metar ima 100 centimetara, ali kvadrat metra sadrži 100 · 100 = 10.000 kvadratnih centimetara. Zato 1 m² = 10.000 cm², 1 dm² = 100 cm², a 1 cm² = 100 mm². Pre množenja dužine prevedi u istu jedinicu. Mešanje metara i centimetara bez pretvaranja vodi do pogrešnog rezultata.

Paralelogram: prava visina uz osnovicu

Površina paralelograma je P = a · hₐ. Visina mora biti normalna na osnovicu a ili na pravu kojoj osnovica pripada. Kosa stranica nije automatski visina. Presecanjem i premeštanjem trouglastog dela paralelogram se pretvara u pravougaonik iste osnovice i visine. Za a = 8 cm i hₐ = 3 cm dobijamo 24 cm². Ako promenimo izabranu osnovicu, moramo uzeti visinu koja baš njoj odgovara.

Trougao: polovina odgovarajućeg paralelograma

Za trougao važi P = a · hₐ / 2. Dva podudarna trougla mogu sastaviti paralelogram, pa jedan zauzima njegovu polovinu. Za osnovicu 10 cm i visinu 4 cm površina je 20 cm². U pravouglom trouglu katete su normalne i mogu biti osnovica i odgovarajuća visina. Kod tupouglog trougla visina može pasti na produžetak stranice. Deljenje sa dva ne sme da se izgubi na kraju postupka.

Trapez i srednja linija

Površina trapeza iznosi P = (a + b) · h / 2, gde su a i b paralelne osnovice, a h njihovo normalno rastojanje. Pošto je srednja linija m = (a + b) / 2, možemo računati i P = m · h. Za osnovice 12 cm i 8 cm i visinu 5 cm dobijamo 50 cm². Kosi krak ne predstavlja visinu. Kada osnovice nisu posebno imenovane, prvo ih jasno označi na skici.

Romb, deltoid i normalne dijagonale

Ako su dijagonale konveksnog četvorougla normalne, površina je P = d₁ · d₂ / 2. To važi za romb i deltoid. Za dijagonale 6 cm i 8 cm dobijamo 24 cm². Romb možemo računati i kao paralelogram, pomoću stranice i odgovarajuće visine. Formula preko dijagonala ne važi za svaki četvorougao: normalnost je važan uslov. Jednake dijagonale same po sebi nisu dovoljne za primenu tog izraza.

Jednake površine i sastavljene figure

Trouglovi sa jednakim osnovicama i jednakim odgovarajućim visinama imaju jednake površine, čak i ako im stranice i uglovi nisu jednaki. Kod sastavljene figure napravi podelu na poznate, nepoklapajuće delove. Saberi njihove površine ili od velike figure oduzmi izrezani deo. Na primer, od pravougaonika 8 cm × 6 cm oduzet kvadrat stranice 2 cm ostavlja 48 − 4 = 44 cm². Ne sabiraj deo koji je već uračunat.

Kako naći nepoznatu dužinu?

Ako trougao ima površinu 30 cm² i osnovicu 10 cm, iz 30 = 10 · h / 2 dobijamo h = 6 cm. Proveri vraćanjem: 10 · 6 / 2 = 30. Kod paralelograma osnovica se dobija deljenjem površine visinom. Rezultat za visinu izražava se centimetrima, ne kvadratnim centimetrima. U realnom zadatku proveri i smisao: može li tražena površina biti veća od velike figure od koje smo oduzimali?

Kako vežbati bez dodatnog pritiska?

Na početku obnavljanja ponudite detetu papir sa kvadratnom mrežom. Pravougaonik 3 × 4 polja može prvo prebrojati, pa tek zatim zapisati proizvod. Presecite papirni paralelogram i prebacite trouglasti deo na drugu stranu: isti komadi sada formiraju pravougaonik. Kod trougla pitajte gde se nalazi normalna visina, čak i kada pada izvan figure. Pre svakog zadatka napišite tri kratke stavke: poznato, traži se, formula. Posle računa dodajte jedinicu i grubu procenu. Za sobu sa podom 4 m × 3 m rezultat 12 cm² očigledno ne može biti tačan, iako su brojevi pomnoženi pravilno.

PDF za vežbanje: zadaci A/B i rešenja

Jedan besplatan PDF sadrži teorijski podsetnik, dve grupe sa po deset zadataka i objašnjena rešenja. Svaka grupa nosi 40 bodova, uz predlog trajanja 45 minuta. Rešenja odvojite pre samostalnog rada; zatim proverite postupak i izaberite jednu stvar za ponavljanje. Različito formulisani tačni odgovori otvorenih pitanja prihvataju se.

Preuzmite besplatan PDF za vežbanje

Brzi onlajn test – 15 pitanja

Izaberite jedan odgovor na svako pitanje, proverite rezultat i pročitajte objašnjenja. Test proverava prepoznavanje i razumevanje, a ne zamenjuje pisani postupak, konstrukciju, samostalnu analizu knjige ili usmeni nastup. Nastavite vežbanje u rubrici Vežbe i zadaci. Učenje gradite malim koracima, uz školsku čitanku ili udžbenik i nastavnikova uputstva.